Metoda sintezei și analizei în rezolvarea problemelor de geometrie în gimnaziu

Mâinea Ramona, profesor, matematică, Școala Gimnazială „Ion Alexandru Brătescu Voinești” Târgoviște

1. introducere

În matematică, prin metodă se înţelege calea raţională care trebuie folosită pentru a demonstra o teoremă sau pentru rezolvarea unei probleme.

Metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie se împart în două grupe principale: generale şi particulare.

Metodele analizei şi sintezei sunt singurele metode generale care se aplică în demonstrarea unui număr foarte mare de teoreme şi probleme.

Metodele folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor sunt următoarele:

  • metoda sintezei
    • metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul
    • metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstraţie
  • metda analizei
    • medota analizei în rezolvarea problemelor de calcul
    • metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstraţie
  • metoda contrucţiilor geometrice
  • medota reducerii la absurd în problemele de geometrie
  • metoda analitico – sintetică în problemele de geometrie
    • metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de demonstraţie
    • metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de calcul
  • metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate
  • metode de rezolvare a problemelor de concurenţă

2. Metoda sintezei

2.1. Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul

Problemele de calcul se împart în: exerciţii, probeleme cu conţinut geometric, dar pentru rezolvarea cărora se cere conoaşterea unor probleme de tip aritmetică şi probleme care, pentru rezolvarea lor, cer folosirea mai multor propoziţii legate într-un raţionament. Exerciţiile sunt probleme uşoare, formulate prin propoziţii scurte prin a căror rezolvare se urmăreşte aplicarea directă a unor reguli sau teoreme. Rezolvarea lor nu necesită un efort mare de gândire, construcţia unor raţionamente complicate, ci numai cunoaşterea temeinică a regulilor, formulelor, a teoremelor studiate. Deşi rezolvarea lor nu dezvoltă prea mult gândirea logică, ele au o mare importanţă, contribuind la formarea priceperilor şi deprinderilor pentru a aplica cunoştinţele teoretice în rezolvarea problemelor, constituind primul pas în aplicarea teoriei în practică.

Prin sinteză, o problemă de calcul se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale problemei între care există o legătură şi cu ajutorul lor se formulează o problemă ce ne dă posibilitatea să calculăm valoarea unei a treia mărimi, care devine astfel cunoscută. Se iau apoi alte două date cunoscute (fie date prin enunţul problemei, fie calculate anterior) şi cu ajutorul lor se formulează altă problemă, care rezolvată ne dă valoarea unei noi mărimi. Se procedează astfel până găsim toate valorile mărimilor ce se cer în problemă.

2.2. Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de deomonstraţie  

Problemele de demonstraţie sunt problemele prin rezolvarea cărora se urămăreşte stabilirea sau verificarea unei relaţii, găsirea unor proprietăţi noi ale figurilor date sau să se justifice dacă o afirmaţie referitoarea la o proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu. Ele ajută la însuşirea temeinică a cunoştinţelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice, constituind primi paşi spre o gândire creatoare.

La rezolvarea unei probleme de demonstraţie prin sinteză se porneşte de la propoziţia A (ipoteza) şi se caută o altă ipoteză C pe care o implică propoziţia A. Prin urmare, ţinând cont că figura F  are proprietăţile α, căutăm să vedem ce alte proprietăţi δ mai are, iar proprietatea care afirmă că figura F     are proprietăţile δ o notăm cu C. Căutăm mai departe o propoziţie D pe care s-o implice propoziţiile A şi C, până când propoziţiile astfel găsite implică propoziţia B (cerută de concluzie).

3. Metoda analizei

3.1. Metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul

Se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă astfel încât răspunsul ei să fie acelaşi ca şi la problema propusă.

Datele problemei formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Cu alte date se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare să fie astfel pusă încât prin rezolvarea ei să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din problema formulată. Se poate întâmpla ca şi în cea de-a doua problemă formulată unele date să nu fie cunoscute, şi atunci se formulează o a treia problemă, a cărei întrebare trebuie să ducă la găsirea datelor necunoscute din problema a doua ş.a.m.d. Acest proces se continuă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operaţiile se desfăşoară pe calea sintezei.

În practică se mai foloseşte o alta formă de aplicare a analizei. Se pleacă tot de la întrebarea problemei. Presupunem că ea cere să se găsească valoarea mărimii A. Atunci se caută mărimile cu ajutorul cărora putem calcula valoarea mărimii A, fie acele mărimi E şi F. Dacă valorile acestor mărimi sunt date în problemă, atunci se fac calculele indicate, se găseşte valorea lui A şi cu aceasta problema dată este rezolvată. Dacă valorile lor (ale lui E şi F) nu sunt cunoscute, atunci trebuie calculate. Astfel, problema propusă se reduce la rezolvarea altor probleme mai puţin complicate. Fie M, N mărimile care ne ajută să găsim pe E şi P, Q mărimile cu ajutorul cărora vom calcula mărimea F. Acest procedeu continuă până când valorile mărimilor căutate se pot calcula cu ajutorul unor date din problema propusă. Din acest moment, folosim calea inversă, din aproape în aproape, ajungem să găsim valoarea mărimii A. Deci în forma a doua nu se mai formulează în mod special problemele intermediare, ci numai se menţionează mărimile pe care le-ar cuprinde ele în cazul în care s-ar formula.

3.2. Metoda analizei în rezolvarea problemelor de deomonstraţie

La rezolvarea unei probleme prin analiză se porneşte de la concluzia B şi se caută o propoziţie C care să implice B. Căutăm o altă propoziţie D din  care să deducem pe C, apoi o propoziţie E din care s-o deducem pe D ş.a.m.d. până găsim o propoziţie A din care să deducem propoziţia precedentă. Se procedează astfel:

  • Se presupune că propoziţia de demonstrat este adevărată.
  • Se pune următoarea întrebare: de unde reiese imediat concluzia teoremei? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi propoziţii cu mai puţine necunoscute decât cea dată de  problemă; s-o numim C.
  • O întrebare asemănătoare se pune şi pentru propoziţia C: de unde reiese imediat concluzia propoziţiei C? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi propoziţii cu mai puţine necunoscute decât C, s-o numim D.
  • O dată ajuns la acest adevăr, raţionamentul se continuă prin metoda sintezei.

Din felul cum se desfăşoară se poate vedea că fiecare etapă nu se aplică prin încercări, ci este legată de propoziţiile precedente, aşadar raţionamentele sunt motivate.

4. Bibliogafie

Costică Lupu, Dumitru Săvulescu, Metodica predării geometriei. Editura Paralela 45 – 2003

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.